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Démonstrations sur le PGCD et le PPCM

Quelques démonstrations importantes voire incontournables sur le PGCD et le PPCM.

Excepté le théorème de Bezout, tous les résultats de ce chapitre se trouvent dans les éléments , y compris le théorème de Gauss, que certains auteurs appellent d’ailleurs le "lemme d’Euclide". Euclide donne en particulier dans les éléments un algorithme (un procédé de calcul que l’on réitère plusieurs fois jusqu’à l’obtention du résultat cherché) pour trouver le PGCD de deux nombres.

Cet algorithme est celui que l’on utilise encore aujourd’hui, à ceci près qu’au lieu de procéder par soustraction successives comme le fait Euclide, on procède par divisions.

L’algorithme d’Euclide est considéré par les informaticiens comme l’exemple type d’un algorithme.

Le théorème de Bezout est l’un des plus grands théorèmes de l’Arithmétique. Bezout n’est pas l’inventeur de ce théorème qui figure déjà dans les "Problèmes plaisants et délectables" qui se font par les nombres de Bachet de Mériziac (1621).

Bezout a laissé son nom à ce théorème car il est l’auteur, en 1795, d’une extension de ce théorème au polynômes.

 
Articles publiés dans cette rubrique
dimanche 18 janvier 2009
par root
Démonstration N°1 sur le PGCD

Une relation très importante concernant le PGCD de deux nombres.



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dimanche 18 janvier 2009
par root
Démonstration fondamentale sur le PPCM
Une démonstration de base concernant le PPCM de deux entiers. Pré-requis : théorème de Gauss et démonstration par l’absurde.
Première partie ( utilisation du raisonnement par l’absurde)
Deuxième partie : utilisation du théorème de Gauss

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dimanche 18 janvier 2009
par root
Relation PPCM - PGCD
Il s’agit de démontrer une relation importante qui lie le PPCM et le PGCD de deux entiers.

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