Comment montrer qu’un ensemble est infini... Cette démonstration qui est un classique fait partie des ROC du programme de terminale S spécialité maths.

"Tout nombre premier est d’une manière unique le produit des puissances de nombres premiers."

Cet énoncé est considéré comme le théorème fondamental de l’arithmétique. Ce théorème n’est exprimé par Euclide, qui en revanche, démontre rigoureusement, et d’une façon la plus simple, que "pour toute quantité de nombres premiers, il en est un plus grand", ce qui pour nous signifie qu’il existe une infinité de nombres premiers.

En 1737, Euler donne une démonstration plus compliquée de ce théorème mais qui a le mérite de montrer, pour la première fois, que des problèmes d’Arithmétique peuvent se résoudre par l’Analyse.

Cette intrusion de l’Analyse dans l’Arithmétique se poursuit au siècle suivant et donne naissance à la théorie analytique des nombres.

Quant à l’unicité du produit dont il est question dans le théorème fondamental, il semble que ce n’est qu’en 1801 qu’elle est clairement démontrée dans les Diquisitiones Arithmetica de Gauss.

On se propose une présentation de cette démonstration. Le principal "pré-requis" est la connaissance du théorème de Gauss et des propriétés élémentaires qui découlent de la définition d’un nombre premier. Bien sûr, j’allais oublier, une connaissance parfaite de la division euclidienne...

Pierre de Fermat (logo de l’article), né dans la première décennie du XVIIe siècle, à Beaumont-de-Lomagne, près de Montauban, et mort le 12 janvier 1665 à Castres, est un juriste et mathématicien français, surnommé « le prince des amateurs ».

Il partage avec Descartes la gloire d’avoir appliqué l’algèbre à la géométrie. Il imagina pour la solution des problèmes, une méthode, dite de maximis et minimis, qui le fait regarder comme le premier inventeur du calcul différentiel dont il est un précurseur : il est le premier à utiliser la formule (sinon le concept) du nombre dérivé(en réalité ce concept a été découvert par un grand mathématicien Indien, Aryabhata).

Il pose en même temps que Blaise Pascal les bases du calcul des probabilités. Mais sa contribution majeure concerne la théorie des nombres et les équations diophantiennes. Auteur de plusieurs théorèmes ou conjectures dans ce domaine, il est au cœur de la « théorie moderne des nombres ».

Il est très connu pour deux « théorèmes » :

* le « petit théorème de Fermat » ; * le « dernier théorème de Fermat » ; ce dernier n’était qu’une conjecture et l’est resté durant plus de trois siècles de recherches fiévreuses.

Une des démonstrations les plus importantes du programme. Elle permet de lever l’indétermination lorsqu’un nombre entier divise le produit de deux autres entiers.

Johann Carl Friedrich Gauß (traditionnellement transcrit Gauss en français) (30 avril 1777 — 23 février 1855) est un mathématicien, astronome et physicien allemand (le "logo" de l’article est en fait un portrait de Gauss). Doté d’un grand génie, il a apporté de très importantes contributions à ces trois sciences. Surnommé « le prince des mathématiciens », il est considéré comme l’un des plus grands mathématiciens de tous les temps.

La qualité extraordinaire de ses travaux scientifiques était déjà reconnue par ses contemporains. Dès 1856, le roi de Hanovre fit graver des pièces commémoratives avec l’image de Gauss et l’inscription Mathematicorum Principi (« prince des mathématiciens » en latin). Gauss n’ayant publié qu’une partie infime de ses découvertes, la postérité découvrit la profondeur et l’étendue de son œuvre uniquement lorsque son journal intime, publié en 1898, fut découvert et exploité.

Considéré par beaucoup comme distant et austère, Gauss ne travailla jamais comme professeur de mathématiques, détestait enseigner et collabora rarement avec d’autres mathématiciens. Malgré cela, plusieurs de ses étudiants devinrent de grands mathématiciens, notamment Richard Dedekind et Bernhard Riemann.

Gauss était profondément pieux et conservateur. Il soutint la monarchie et s’opposa à Napoléon qu’il vit comme un semeur de révolution

L’algorithme d’Euclide...à la recherche du PGCD L’algorithme d’Euclide tel qu’il a été vu en troisième est repris en terminale mais démonstration à l’appui (lemme d’Euclide : a^b=b^r). De plus, il nous servira à trouver des solutions particulières de l’équation de Diophante.

Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) est un mathématicien de la Grèce antique, auteur des Éléments, qui sont considérés comme l’un des textes fondateurs des mathématiques modernes.

On sait très peu de choses relatives à la vie d’Euclide, sinon que c’était un mathématicien grec qui naquit peut-être à Athènes vers -325. Il partit en Égypte pour y enseigner les mathématiques sous le règne de Ptolémée Ier. Il mourut vers -265. Il travailla au musée d’Alexandrie et y fonda l’école de mathématiques. Entouré de ses disciples, il y mena de nombreux travaux de recherche. Il est contemporain d’Archimède.

Euclide aurait aussi participé, comme tout citoyen de son époque, à la vie politique. Il aurait ainsi fait adopter à Athènes une disposition stipulant que les textes des lois, consignés jusqu’alors dans l’alphabet local, devraient être réédités dans l’ alphabet dit de Milet qui donnait sa préférence au sens gauche-droite.

Les Éléments sont une compilation du savoir géométrique et restèrent le noyau de l’enseignement mathématique pendant près de 2000 ans. Il se peut qu’aucun des résultats contenus dans les Éléments ne soit d’Euclide, mais l’organisation de la matière et son exposé lui sont dus.

Les Éléments sont divisés en treize livres. Les livres 1 à 6, géométrie plane, les livres 7 à 9, théorie des rapports, le livre 10, la théorie de nombres irrationnels d’Eudoxe, et enfin les livres 11 à 13 de géométrie dans l’espace. Le livre se termine par l’étude des propriétés des cinq polyèdres réguliers et une démonstration de leur existence. Les Éléments sont remarquables par la clarté avec laquelle les théorèmes sont énoncés et démontrés.

Plus d’un millier d’éditions manuscrites des Éléments ont été publiées avant la première version imprimée en 1482. La rigueur n’y est pas toujours à la hauteur des canons actuels, mais la méthode consistant à partir d’axiomes, de postulats et de définitions, pour déduire un maximum de propriétés des objets considérés, le tout dans un ensemble organisé, était nouvelle pour l’époque. Les Éléments durent leur succès à leur supériorité d’organisation, de systématisation et de logique mais pas d’exhaustivité (ni conique, ni résolution par neusis[1] ou ajustement). Les dernières recherches entreprises en épistémologie des mathématiques tendent à prouver qu’Euclide n’est pas le seul auteur des Éléments. Il était vraisemblablement entouré d’un collège de disciples ayant tous participé à leur élaboration.

La géométrie telle qu’elle est définie par Euclide dans ce texte fut considérée pendant des siècles comme la géométrie et il fut difficile de lui ôter cette suprématie ; Nicolaï Ivanovitch Lobatchevsky fut le premier à s’y essayer officiellement dès 1826, suivi de János Bolyai, mais la légende veut qu’il n’ait pas été pris au sérieux jusqu’à la mort de Gauss, lorsque l’on découvrit parmi les brouillons de ce dernier qu’il avait lui aussi imaginé des géométries non euclidiennes. Euclide (d’après une peinture du XVIIIe siècle)

Dans ses livres, Euclide utilise sans la démontrer une propriété des droites, le "postulat d’Euclide", que l’on exprime de nos jours en affirmant que par un point pris hors d’une droite il passe une et une seule parallèle à cette droite.

Il y a essentiellement trois sortes de géométries :

* celle qui admet le postulat d’Euclide et que l’on appelle géométrie plane ou géométrie euclidienne, * celle qui admet le postulat qui dit que par un point pris hors d’une droite il ne passe aucune parallèle à cette droite et que l’on appelle géométrie sphérique ou géométrie riemannienne, * celle qui admet le postulat qui dit que par un point pris hors d’une droite il passe une infinité de parallèles à cette droite et que l’on appelle géométrie de Lobatchevsky.

Riemann a montré qu’un modèle de la géométrie sphérique est la géométrie de la sphère où les droites sont les méridiens ou grands cercles. Poincaré a donné un modèle de la géométrie de Lobatchevsky. Étant donné que ces trois géométries ont des modèles, il n’y aucune raison d’en privilégier l’une plutôt que l’autre. La théorie de la relativité d’Einstein a porté un coup fatal à la géométrie d’Euclide en montrant la courbure de l’espace. En effet lorsque l’espace se courbe, il abandonne son aspect euclidien.

Euclide s’est aussi intéressé à l’arithmétique dans le livre 7. Il a ainsi défini la division que l’on appelle division euclidienne et un algorithme pour calculer le plus grand commun diviseur de deux nombres, connu sous le nom d’algorithme d’Euclide.

"Il est toujours aisé d’être logique. Il est presque impossible d’être logique jusqu’au bout." Albert Camus

La démonstration de ce théorème est un grand classique. Il ne fait pas l’objet d’une Restitution Organisée des Connaissance, mais il est bon de le travailler en "profondeurl".

Remarques sur l’auteur :Nommé par Étienne François de Choiseul en 1763 examinateur des gardes de la marine, il est chargé de la rédaction d’un cours de mathématiques qui conduira au Cours de mathématiques à l’usage des gardes du pavillon et de la marine. À la mort de Charles-Étienne Camus en 1768, il devient examinateur des élèves du corps de l’artillerie et rédige le Cours complet de mathématiques à l’usage de la marine et de l’artillerie, qui devint plus tard le livre de chevet des candidats au concours d’entrée à l’École polytechnique.

Il est également l’auteur d’une Théorie générale des équations algébriques, publiée en 1779, sur la théorie de l’élimination et des fonctions symétriques sur les racines d’une équation : il utilise les déterminants dans un article de l’Histoire de l’Académie royale, parue en 1764, mais ne traite pas de la théorie générale.

Élu adjoint de mécanique à l’Académie des sciences en 1758, il y devient associé en 1768, puis pensionnaire en 1770.